Álgebra

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By Ferramentas Blog

MATEMÁTICA FINANCEIRO!
DEFINIÇÕES:
Capital: Dinheiro investido;
Juros: É a remuneração. Um valor que representa uma porcentagem do capital. Pode ser simples, quando é cobrado em cima do valor total, ou composto, quando é aplicado inicialmente sobre capital e depois sobre o capital com o  juros, ou chamado juros sobre juros.
Montante: Capital + Juros

SABENDO AS DEFINIÇÕES ANTERIORES, É POSSÍVEL DESCOBRIR:
Juros SIMPLES:
J(juros) = C(capital) x i(porcentagem cobrada de tempo em tempo) x t(tempo)
J = C . i . t
M = C + J
M = C + C . i . t

M = C . (1 + i . t)

Juros COMPOSTOS:

M = C . (1 + i)^t

PROBABILIDADE!

P(a) = n(a)
           n(E)

Onde: n(a) = Número de casos favoráveis;
           n(E) = Número de casos possíveis.

CUIDADO!!!
P(a) = 0 (IMPOSSIBILIDADE)
P(a) = 1 (CERTEZA)

RELAÇÕES DE GIRARD!

As relações de Girard são relações em que podemos descobrir as raízes ou a soma delas ou produto delas através dos coeficientes. É possível observar uma regularidade:

EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
y = ax² + bx + c
Raízes: x e y
As relações de Girard são:

x + y = -b/a
x.y = c/a

EQUAÇÃO DO TERCEIRO GRAU
y = ax3 + bx² + cx + d
Raízes: x, y e z

x + y + z = -b/a
xy + xz + yz = c/a
x.y.z = -d/a


EQUAÇÃO DO QUARTO GRAU
y = ax4 +bx3 + cx² + dx + e
Raízes: x, y, z e w

x + y + z + w = -b/a
xy + xz + xw + yz + yw + zw = c/a
xyz + xyw + xzw + yzw = -d/a
xyz = e/a

. . .
LOGARITMO!

Como não é possível escrever o logaritmo perfeitamente
 aqui no blog, escreverei assim:
logNb = x

Você já deve ter ouvido falar em logaritmo mas pode ainda não saber o que é. É simples. O logaritmo é o inverso do exponencial.

Exemplo:

               6² = 36

               O inverso é:

                log de 36 na base 6 = 2

                (seguindo a estrutura ao lado)

Como devo trabalhar o log? De acordo com suas propriedades pois nem sempre a melhor forma é transformando em exponencial!

PROPRIEDADES:

1. log(a.b)c = log ac + log bc
2. log(a/b)c = log ac - log bc
3. log(a)²c =  2.log ac
4. log a c² = 1/2 log ac
5. colog ba = - log ba
6. antilog ba = x   tal que   log xa = b

PROGRESSÃO ARITMÉTICA(P.A.)!

A progressão aritmética é quando um conjunto segue uma sequência de termos com a SOMA de uma razão fixa.

Ex: (3, 5, 7, 9, 11, ...); Razão = 2

1. Termo Geral

An = A1 + (N - 1).R

An = É o termo que queres descobrir

A1 = O primeiro termo do conjunto

N = Posição do termo no conjunto

R = Razão

Ex: Utilizando o conjunto do outro exemplo:

(3, 5, 7, 9, 11, ...)

3 é A1

5 é A2 = A1 + R

7 é A3 = A1 + 2R

...

Neste caso, se eu quiser saber qual é 38° elemento do conjunto:

An = A1 + (N - 1).R

A38 = A1 + (38 - 1).R

A38 = 3 + 37.2

A38 = 3 + 74 = 77

2. Propriedade do Termo Médio

(a, b, c); R = b-a = c-b

b-a = c-b

2b = c + a

b = c + a

       2

3. Somatório de Termos

Sn = (A1 + An)n

        2

S = Somatório

n = Numero de termos

A1 = Primeiro termo dos que serão somados

An = Último termo dos que serão somados

Ex: Usando o mesmo conjunto:

(3, 5, 7, 9, 11, ...)

O somatório do 3° ao 5° termo é:

Sn = (A1 + An)n

                2

S3 = (7 + 11).3

               2

S3 = 18.3

           2

S = 9.3 = 27

7 + 9 + 11 = 27

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIQUESTÕESIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

01 - Resolva: F(x) = x² - 14x + 40

Forma mais comum:
/\ = b² - 4.a.c =  196 - 4.1.40 = 196 - 160 = 36

x = -b ± √/\  = 14 ± √36  = 14 ± 6  = 7 ± 3 =
         2.a               2                 2

Resposta: x = 10 ou x = 4 ou x = (4,10)

Forma mais fácil:

14/2 = 7
7² = 49

x² - 14x + 49 - 49 + 40 (Vejam que não mudou nada. O que somei, subtraí)
x² - 14x + 49 - 9 = 0
 T.Q.P                           (Trinômio quadrado perfeito)
(x - 7)² - 9 = 0
(x - 7)² = 9
x - 7 = ± 3

• x - 7 = +3 => x = 3 + 7 => x = 10
• x - 7 = -3 => x = -3 +7 => x = 4

Resposta: x = (4,10)

02 - (UFC)Calcule o valor de [5log de (5log de 100 na base 10) na base 10]²

log de 100 na base 10 = log 100 10 = log 10² 10 = 2 log 10 10 = 2 . 1 = 2

[5 log (5.2) 10]² = [5 log 10 10]² = (5.1)² = 25

Resposta: 25

03 - (UFC)Resolva: log (x + 10)² 50-x = 2

2.log (x + 10) 50-x = 2
log (x+10) 50-x = 2/2
log (x+10) 50-x = 1
Não ha mais propriedades, então transformemos em exponencial
(50-x)¹ = x+10
50 - x = x + 10
2x = 40
x = 20

Resposta = 20

04 - (UECE)Se log 8 p = -3/4 e log q 32 = 3/5, então q + 1/p é igual a:
a)21
b)22
c)23
d)24

log de 8 na base p = log 8 p = -3/4
log 8 p = -3/4
4.log 8 p = -3
log 8⁴ p = -3

p^-3 = 8⁴

1/p³ = (2⁴)³
p³ = 1/ (2⁴)³
p = 1/2⁴
p = 1/16

log de q na base 32 = 3/5
log q 32 = 3/5
5 log q 32 = 3
log q⁵ 32 = 3
32³ = q⁵
(2⁵)³ = q⁵
2³ = q
q = 8


q + 1/p = 8 + 16 = 24

Resposta: d)24

05 - Se 16 . 4^x = 7^y+3, então quando y = -3 o valor de log₁₆2x² é:
a)4
b)5/2
c) 2
d)1
e)3/4

16 . 4^x = 7^{-3 + 3}

16. 4^x = 7⁰

16 . 4^x = 1

4^x = 1/16

4^x = 16^-1

4^x = (4²)^-1

4^x = 4^-2

X = -2

Log₁₆2.(-2)²

Log₁₆2 . 4

Log₁₆8

Log₂⁴ 2³

3/4 . log₂2

3/4 . 1

3/4

Resposta: e) 3/4

06 - Se N = 2 - log 4 + Log 3, então:
a) 0 < N < 1
b) 1 < N < 2
c) 2 < N < 3
d) 3 < N < 4
e) 4 < N < 5

Se a base não aparecer é porque vale 10.
No caso temos log de 4 na base 10 e log de 3 na base 10.

Conclusões atraves de observações:

Log₄4 = 1

Log₄16 = 2

então, se as bases são iguais, o maior logaritmando diz quem é o maior resultado, ou seja,
log4 > log 3
outra conclusão:
1 = log10, então, log10 > log 4 > log 3

Continuando, temos o 2 que diminuirá x e depois será acrescido x - y, sendo x < 1.
Então, o 2 diminuirá para 1,..., então:

Resposta: b)1 < N < 2

07 - O numero real x que satisfaz a sentença 3^{x + 1} = 9^x/81 é:
a) irracional
b) negativo
c) par
d) primo
e) não inteiro

3^{x + 1} = 9^x/81

3^x . 3 = 9^x/9²

3^x . 3 = (3²)^x/(3²)²

3^x . 3 = 3^2x/3⁴

3^x . 3 . 3⁴ = 3^2x

3^x . 3⁵ = 3^2x

3^{5 =} 3^x

x = 5

5 não é irracional, nem negativo, nem par, nem não inteiro, então:

Resposta: d) primo

07 - Um capital de R$400,00 foi aplicado durante dois meses à taxa de 3% a.b(ao bimentre). Calcule os juros e o montante recebido.
t = 2 meses = 1 bimestre
i = 3% = 3/100 = 0,03

J = C . i . t
J = 400 . 0,03 . 1
J = 120

Resposta: R$ 120,00


08 - Qual o montante de uma aplicação de 3000,00 a juros compostos, durante 10 meses, à taxa de 1,4% a.m.?
M = C(1 + i)^t
M = 3000 . (1 + 0,014)¹⁰
M = 3347,47

Resposta: R$ 3.347,47